Características de cada função trigonométrica (Período,Amplitude e imagem)

Função seno:

• Período: É sempre o comprimento da senóide. No caso da função , a senóide caracteríza-se pelo intervalo de 0 a 2π, portanto o período é 2π.
• Amplitude: É a metade da distância do ponto máximo ao mínimo .
• Imagem: Como seno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores:

Função cosseno:

• Período: É sempre o comprimento da cossenóide. No caso da função f(x) = cos x , a cosenóide caracteriza-se pelo intervalo de 0 a 2π, portanto o período é 2π.
• Amplitude: A amplitude é medida verticalmente do ponto Máximo ao ponto mínimo.
• Imagem: Como cosseno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores:

Função tangente :

• Período: π
• Amplitude:
• Imagem:

Funções Trigonométricas (Seno,Cosseno e Tangente)

Seno:Análise o circulo trigonométrico 

Repare o eixo dos senos(Vertical) e compare com essa tabela:

Quadrante	I	II	III	IV
Seno	+	+	-	-

Com essas informações, consegue-se construir o gráfico da função seno: 

f(x) = sen(x)

Função cosseno

Para o cosseno, é a mesma coisa, com a tabela abaixo e o respectivo gráfico: 

Quadrante	I	II	III	IV
Co-seno	+	-	-	+

f(x) = cos(x)

Note que o domínio das duas funções é  (o domínio das funções seno e cosseno é o conjunto dos números reais). 

Já o conjunto imagem  (as funções seno e co-seno possuem valores entre os valores -1 e 1). 

Função tangente

O círculo trigonométrico para a tangente é: 

Note na figura e na tabela abaixo os sinais da tangente para cada quadrante: 

Quadrante	I	II	III	IV
Tangente	+	+	-	-

Note que para o  (90^o) em radianos a tangente é  e para  (270^o) é .

Verifique no gráfico: 

Obs:cuidados com os valores de  (90^o) e  (270^o).

Círculo unitário ou círculo trigonométrico

http://www.youtube.com/watch?v=ULa74EWQls4

É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então os outros dois ângulos medirão 90°.

Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares.

Gráficos das Funções Trigonometricas

Razões Trigonométricas

Dado um triângulo ABC retângulo em B, em que o ângulo BÂC é igual a α, identificamos seis razões entre os lados de ABC, que denominamos razões trigonométricas de α.



As principais são:

•O seno de α, que é a razão sen α = q/p entre o cateto oposto a α e a hipotenusa do triângulo;
•O co–seno de α, que é a razão cos α = r/p entre o cateto adjacente a α e a hipotenusa;
•A tangente de α, que é a razão tg α = q/r entre o cateto oposto e o cateto adjacente a α;
As razões inversas das três acima são chamadas, respectivamente, de co-secante, secante e co-tangente de α.

Observação importante:

Os valores destas razões, para um mesmo ângulo α, não são independentes entre si, já que os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo estão relacionados pelo Teorema de Pitágoras. As relações mais importantes entre as razões trigonométricas são:

•sen2 α + cos2 α = 1
•tg α =sen α / cos α
Exemplos de Aplicações:

1º) Ao soltar uma pipa, um menino já usou toda a linha de seu carretel, que tem 100 metros da linha. O ângulo que a linha forma com a horizontal é igual a 18º. A que altura está a pipa? (Dado: sen18° = 0,3090)

Solução:
Para resolver o problema, vamos admitir que a linha fique em linha reta (na verdade, ela forma em pequena “barriga” devido ao peso da própria linha).

Usando um modelo matemático temos:



Na figura, temos sen 18° = h/100 . Logo, h = 100 sen18° = 100 x 0,3090 = 30,9 metros. A altura que calculamos é medida a partir da mão do menino. Para calcular em relação ao solo devemos somar a distância da mão ao solo, que pode ser estimada em 1 m. Logo, a pipa está a aproximadamente 31,9 metros do solo.

2º) Sabendo que a tangente de um ângulo agudo é igual a 2, calcule senα e cosα .

Solução:

Temos tg α = sen α/cos α = 2, ou seja, senα = 2 cos α. Substituindo na relação sen² α + cos² α = 1, obtemos 4cos² α + cos² α = 1.

Portanto, cos2 α = 1/5 e, como as razões trigonométricas de ângulos agudos são números positivos, cos α = 1/√5 = (√5)/5 .

Finalmente, sen α = 2 cos α = (2√5)/5

História da Trigonometria

   A palavra Trigonometria tem origem grega: TRI (três), GONO (ângulo) e METRIEN (medida),significa medida do triângulo.E trata também estudo das relações entre os lados e os ângulos de um triângulo.
A origem da trigonometria é incerta. Entretanto, pode-se dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios.
 Pensa se que a origem da trigonometria está só ligada a medidas de terrenos ou  medida da superfície da terra.No entanto, enquanto ramo do conhecimento científico, é impossível separar a Trigonometria da Astronomia.
 É neste contexto que o astrônomo grego Hiparco de Niceia é considerado o fundador da Trigonometria.Hiparco utilizou a trigonometria para fazer medições, prever eclipses, fazer calendários e na navegação.